Página 62, ejercicio 2
Página 63, elige 2
miércoles, 27 de noviembre de 2013
miércoles, 20 de noviembre de 2013
Fechas para los exámenes que nos quedan por hacer.
TEMA 4: 21 Noviembre
Tema 5: 5 Diciembre
Tema 6: 18 Diciembre.
Miércoles, 20 NOVIEMBRE 2013
Página 57, ejercicio 13. No es necesario que copies el enunciado, tan solo indica de rojo la página y el número.
Página 59, ejercicios 2, 4, 10 y 11.
De los ejercicios 10 y 11 no es necesario copiar el enunciado, tan solo escribir de rojo la página y el número de los ejercicios.
REPASAD PARA EL EXAMEN DEL TEMA 4 (y anteriores).
Martes: 19 Noviembre 2013
Ficha de los DIVISORES.
Repasar dudas de Mates para el EXAMEN: 21 y 22 de NOVIEMBRE.
Recuerda que es acumulativo y continuo:
entran contenidos de todos los temas anteriores.
martes, 12 de noviembre de 2013
Miércoles, 13-Noviembre--2013
Control de Estudio del tema 4 para el Viernes día 15-Noviembre
Página 55, elige 2.
Página 55, elige 2.
Fotocopia de actividades sobre m.c.m. y el m.c.d.
Corregir la ficha de operaciones y la ficha de actividades del fin de semana (que os he entregado con anotaciones sobre los fallos)
y traerla bien hecha.
lunes, 11 de noviembre de 2013
Martes, 12-Noviembre-2013
Recuerda que para calcular el m.c.d. debes seguir este proceso:
1.º Determinar todos los divisores de cada número que te den.
2.º Seleccionar los divisores comunes a todos ellos.
3.º Elegir el mayor divisor común.
Página 54
Elige 2 ejercicios.
Inventa un problema similar a los realizados de la página 52.
Mañana control de cálculo mental.
Elige 2 ejercicios.
Inventa un problema similar a los realizados de la página 52.
Mañana control de cálculo mental.
Viernes, 8-Noviembre-2013
Ficha del mínimo común múltiplo: m.c.m.
Página 52: Elige 2 ejercicios
Página 53: Elige 2 ejercicios y haz el CÁLCULO MENTAL.
miércoles, 6 de noviembre de 2013
UTILIDAD DE LOS NÚMEROS PRIMOS... MENSAJES SECRETOS...
La utilidad de los números primos
en criptografía
Los
sistemas actuales de criptografía utilizan métodos numéricos muy
complejos, con operaciones en las que se manejan números primos con gran
cantidad de cifras.
Muchos matemáticos y científicos
trabajan en métodos de cifrado y descifrado, y utilizan los números
primos, ya que son la base ideal para un proceso de cifrado fácil y
descifrado enormemente difícil.
Vamos a ver, a continuación, un método sencillo de cifrado en el que utilizaremos los números primos.
Se requiere que tanto emisor como receptor conozcan cómo cifrar y descifrar mensajes.
A cada letra del alfabeto le
haremos corresponder un número de dos cifras.
La letra A la
sustituiremos por 10,
la B por 11,
y así sucesivamente.
a/10 b/11 c/12 d/13 e/14 f/15 g/16 h/17 i/18 j/19 k/20 l/21 m/22 n/23 ñ/24 o/25 p/26 q/27 r/28 s/29 t/30 u/31 v/32 w/33 x/34 y/35 z/36
El emisor aplica este método de
cifrado: si el número correspondiente a la letra es primo, se deja como
está, y si es compuesto, se le suma un número fijo, 30 en este caso.
a/40 b/11 c/42 d/13 e/44 f/45 g/46 h/17 i/48 j/19 k/50 l/51 m/52 n/23 ñ/54 o/55 p/56 q/57 r/58 s/29 t/60 u/31 v/62 w/63 x/64 y/65 z/66
De este modo, la palabra
«mates» sería 5240604429.
Para descifrar el mensaje hacemos grupos de dos cifras en los números y miramos la equivalencia en la tabla.
Así, 17555140 29405840
descifrado es la frase «hola sara».
REGLAS DE DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Las reglas de divisibilidad
Estas reglas te permiten saber si un número se puede dividir exactamente por otro, ¡sin tener que hacer muchos cálculos!| Un número es divisible por: |
Si: | Ejemplo: |
|---|---|---|
| 2 | La última cifra es par (0,2,4,6,8) | 128 es 129 no es |
| 3 | La suma de las cifras es divisible por 3 |
381 3+8+1=12, y 12÷3 = 4) Sí 217 (2+1+7= 10, y 10÷3 = 3 1/3) No |
| 4 | Las dos últimas cifras son un número divisible por 4 |
1312 es (12÷4=3) 7019 no es |
| 5 | La última cifra es 0 o 5 | 175 es 809 no es |
| 6 | El número es divisible por 2 y 3 |
114 es par, y 1+1+4=6 y 6÷3 = 2 Sí
308 (es par, pero 3+0+8=11 y 11÷3 = 3 2/3) No |
| 7 | Si doblas la última cifra y la restas del resto del número, y el resultado es:
|
672 (El doble de 2 es 4, 67-4=63, y 63÷7=9) Sí 905 El doble de 5 es 10, 90-10=80, y 80÷7=11 3/7) No |
| 8 | Las tres últimas cifras son un número divisible por 8 |
109816 (816÷8=102) Sí 216302 (302÷8=37 3/4) No |
| 9 | La suma de las cifras es divisible por 9
(Nota: puedes aplicar la regla otra vez a la respuesta si quieres) |
1629 1+6+2+9=18, y otra vez, 1+8=9) Sí 2013 (2+0+1+3=6) No |
| 10 | El número termina en 0 |
220 es 221 no es |
| 11 | Si sumas las cifras en posiciones pares y restas las otras, la respuesta es:
|
1364 ((3+4) - (1+6) = 0) Sí 3729 ((7+9) - (3+2) = 11) Sí 25176 ((5+7) - (2+1+6) = 3) No |
| 12 | El número es divisible por 3 y 4 |
648 (6+4+8=18 y 18÷3=6, además 48÷4=12) Sí 916 (9+1+6= 16, 16÷3= 5 1/3) No |
PARA SABER MÁS... LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES DE 1.000...
Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89 y 97,
que son todos los primos menores que 100.
En la siguiente tabla tenemos todos los
primos menores que 1000, que hacen un total de 168 (21 columnas×8 filas)
No necesitas aprenderlos, pero te servirá para tu paso por el Instituto.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 |
| 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 |
| 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 |
| 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 | 421 | 431 | 433 |
| 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 |
| 577 | 587 | 593 | 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 |
| 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 839 | 853 |
| 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
COMO HACER LA TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS O CRIBA DE ERATOSTENES.
¿Qué son los números primos?
Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1.
¿Qué son los números compuestos?
Son aquellos números que además de ser divisibles por ellos mismos y la unidad, también son divisibles por otros números.
Vamos a ver un ejemplo de número primo y compuesto:
El 11 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 11, pero no se puede escribir como ninguna otra multiplicación. Solo tiene como divisores el 1 y el 11, por lo tanto es un número primo.
El 12 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 12, y también se puede escribir como la multiplicación de 3 x 4, y de 2 x 6. Como 12 es divisible por más números de 1 y el mismo, 12 es un número compuesto.
Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1.
¿Qué son los números compuestos?
Son aquellos números que además de ser divisibles por ellos mismos y la unidad, también son divisibles por otros números.
Vamos a ver un ejemplo de número primo y compuesto:
El 11 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 11, pero no se puede escribir como ninguna otra multiplicación. Solo tiene como divisores el 1 y el 11, por lo tanto es un número primo.
El 12 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 12, y también se puede escribir como la multiplicación de 3 x 4, y de 2 x 6. Como 12 es divisible por más números de 1 y el mismo, 12 es un número compuesto.
Tabla de números primos:
Vamos a construir la tabla de números primos hasta el 100.
Vamos a empezar con el 2.
El 2 es un número
primo pero todos lo múltiplos de 2 serán números compuestos, ya que
serán divisibles entre 2. Tachamos de nuestra tabla todos
los múltiplos de 2.
El siguiente número primo es el 3, por lo tanto podemos tachar todos los múltiplos de 3, ya que serán números compuestos.
El siguiente número primo es el 5, por lo que tachamos todos los múltiplos de 5.
El siguiente número primo es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7.
El siguiente número primo es el 11, por lo
que tachamos todos los múltiplos de 11, que son el 22, 33, 44, 55, 66,
77, 88, y el 99.
Todos estos ya habían sido tachados con anterioridad,
por lo que ya hemos terminado de tachar todos los números compuestos de
nuestra tabla.
Esta es nuestra lista de números primos
del 1 al 100. No es necesario que te los aprendas de memoria, pero si
que te acuerdes de los más pequeños, como el 2, 3, 5, 7, 11, 13.
NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Números primos y compuestos
Nota: esto es sólo para números enteros mayores que 1
Es decir: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... etc
Es decir: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... etc
Un número primo se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo.
Un número compuesto se puede dividir exactamente entre otros números además de 1 y él mismo.
(Así que cualquier número entero mayor que 1 es primo o compuesto)
Ejemplos
|
Número
|
Se puede dividir
exactamente entre |
¿Primo o
compuesto? |
|
1
|
(1 no es primo ni compuesto)
|
|
|
2
|
1,2
|
Primo
|
|
3
|
1,3
|
Primo
|
|
4
|
1,2,4
|
Compuesto
|
|
5
|
1,5
|
Primo
|
|
6
|
1,2,3,6
|
Compuesto
|
|
7
|
1,7
|
Primo
|
|
8
|
1,2,4,8
|
Compuesto
|
|
9
|
1,3,9
|
Compuesto
|
|
10
|
1,2,5,10
|
Compuesto
|
Factores
Los "factores" son los números que multiplicas para llegar a otro número:
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DE LOS PRIMEROS NÚMEROS PRIMOS
Criterios de Divisibilidad
por los primeros números primos
Número | Regla |
| 2 | Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. 20, 72, 134, 216, 3218, 58616 |
| 3 | Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3. (Si la suma es mayor de 9 se suman de nuevo sus cifras). 12 (1+2=3), 132 (1+3+2=6), 261 (2+6+1=9), 753 (7+5+3=15, 1+5=6) |
| 5 | Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. 10, 25, 40, 65, 125, 3215 |
| 7 | Un número es divisible por 7 cuando la diferencia
entre el número, sin la cifra de las unidades, y el doble de la cifra
de las unidades es 0 ó múltiplo de 7. Si la diferencia es mayor de 77, repetimos el proceso, 84→8 - (2x4) = 8 - 8 = 0 ⇔ 238 →23 - (2x8) = 23 - 16 = 7 2807 →280 - (2x7) = 280 - 14 = 266→26 -(2x6) = 26 - 12 = 14 = 2x7 |
| 11 | Un número es divisible por 11 si la diferencia
entre la suma de las cifras que ocupan lugares pares y la suma de las
cifras que ocupan lugares impares es 0, 11 ó múltiplo de 11. 132→(2+1 = 3; 3-3 = 0)⇔ 2816→(8+6 = 14; 2+1 = 3; 14-3 = 11) 71929→ (7+9+9 = 25; 1+2 = 3; 25-3 = 22 = 2x11) |
Para saber más sobre el m.c.m. (mínimo común múltiplo) TEORÍA
Las abreviaturas empleadas para designar al Mínimo Común Múltiplo pueden ser, indistintamente, M.C.M.⇔ MCM o también m.c.m. ⇔ mcm
El método más intuitivo para saber cúal es el mínimo común múltiplo de varios números, consiste en calcular los múltiplos de cada número y, el menor múltiplo común a dichos números será su Mínimo Común Múltiplo.
El método más intuitivo para saber cúal es el mínimo común múltiplo de varios números, consiste en calcular los múltiplos de cada número y, el menor múltiplo común a dichos números será su Mínimo Común Múltiplo.
Mínimo Común Múltiplo de 6, 12 y 18
Los múltiplos de 6 son ⇒ 6, 12, 18, 24, 30, 36 ...
Los múltiplos de 12 son ⇒ 12, 24, 36, 48, 60 ...
Los múltiplos de 18 son ⇒ 18, 36, 54, 72, 90 ...
El menor múltiplo común a los tres números es 36
Por lo que el m.c.m. (6 , 12 , 18) = 36
Los múltiplos de 6 son ⇒ 6, 12, 18, 24, 30, 36 ...
Los múltiplos de 12 son ⇒ 12, 24, 36, 48, 60 ...
Los múltiplos de 18 son ⇒ 18, 36, 54, 72, 90 ...
El menor múltiplo común a los tres números es 36
Por lo que el m.c.m. (6 , 12 , 18) = 36
Otro procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue:
- Realizamos la factorización de los números.
- Tomamos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
- El m.c.m. será el producto de los factores anteriores.
Mínimo Común Múltiplo de 36, 84 y 120
Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5
Factores comunes y no comunes, con mayor exponente: 23 x 32 x 7 x 5 = 8 x 9 x 7 x 5 = 2.520
Por tanto, el m.c.m. (36, 84, 120) = 2.520
Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5
Factores comunes y no comunes, con mayor exponente: 23 x 32 x 7 x 5 = 8 x 9 x 7 x 5 = 2.520
Por tanto, el m.c.m. (36, 84, 120) = 2.520
Para terminar esta lección, es importante saber que si a y b son dos números naturales (enteros positivos), se verifica que:
MCD (a , b) x mcm (a , b) = a x b
De la igualdad anterior se desprende que también podemos calcular el mínimo común múltiplo de dos números, dividiendo el producto de los mismos por su máximo común divisor.
mcm (a , b) = a x b : MCD (a , b)
Veamos un ejemplo.
Mínimo Común Múltiplo de 14 y 21
Producto de los números ⇒ 14 x 21 = 294
Mínimo Común Múltiplo de 14 y 21
Producto de los números ⇒ 14 x 21 = 294
Máximo Común Divisor de 14 y 21 = 7
Producto dividido por MCD ⇒ 294 : 7 = 42
Así pues, el m.c.m (14 , 21) = 42
Para saber más sobre la FACTORIZACIÓN... para recordar para el Instituto...
La Factorización se fundamenta en el Teorema de Factorización Única, que afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos.
Por ejemplo, 42 = 2 x 3 x 7, y no hay ninguna otra factorización de 42 en números primos, salvo en el orden de los factores, que no afecta en la multiplicación por tener la propiedad conmutativa. Por este motivo se enuncia el Teorema como de Factorización Única.
Para descomponer un número en producto de factores primos, procedemos de la siguiente manera:
Por ejemplo, 42 = 2 x 3 x 7, y no hay ninguna otra factorización de 42 en números primos, salvo en el orden de los factores, que no afecta en la multiplicación por tener la propiedad conmutativa. Por este motivo se enuncia el Teorema como de Factorización Única.
Para descomponer un número en producto de factores primos, procedemos de la siguiente manera:
- Escribimos el número a descomponer y a la derecha trazamos una línea vertical.
- Buscamos el menor número primo, (2, 3, 5, 7 ...), por el que sea divisible el número. (Aplicamos los criterios de divisibilidad para saber si la división será exacta o no).
- Dividimos el número por ese número primo.
- Colocamos el divisor (el número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número.
- Repetimos el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca un 1, lo que nos indica que la descomposición ha terminado. (Recordar que el número 1 es especial y no se considera primo ni compuesto).
| Factorización de 2310 | Factorización de 3150 | ||
|---|---|---|---|
| 2310 | 2 | 3150 | 2 |
| 1155 | 3 | 1575 | 3 |
| 385 | 5 | 525 | 3 |
| 77 | 7 | 175 | 5 |
| 11 | 11 | 35 | 5 |
| 1 | 7 | 7 | |
| 1 | |||
| 2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 | 3150 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7 | ||
| 3150 = 2 x 32 x 52 x 7 | |||
MÁXIMO COMÚN DIVISOR... TEORÍA PARA RECORDAR.... m.c.d.
Las abreviaturas empleadas para designar al Máximo Común Divisor pueden ser, indistintamente, M.C.D.⇔ MCD
o también m.c.d. ⇔ mcd
El método más sencillo e intuitivo para saber cúal es el máximo común divisor de varios números, consiste en calcular los divisores de cada número y, de los divisores comunes a dichos números, el mayor de ellos será su Máximo Común Divisor.
El método más sencillo e intuitivo para saber cúal es el máximo común divisor de varios números, consiste en calcular los divisores de cada número y, de los divisores comunes a dichos números, el mayor de ellos será su Máximo Común Divisor.
Máximo Común Divisor de 6, 12 y 18
Los divisores de 6 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Los divisores de 12 son ⇒ 1, 2, 3, 4, 6, 12
Los divisores de 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6, 9, 18
Los divisores comunes de 6, 12 y 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Como el mayor es 6, el M.C.D. (6 , 12 , 18) = 6
Los divisores de 6 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Los divisores de 12 son ⇒ 1, 2, 3, 4, 6, 12
Los divisores de 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6, 9, 18
Los divisores comunes de 6, 12 y 18 son ⇒ 1, 2, 3, 6
Como el mayor es 6, el M.C.D. (6 , 12 , 18) = 6
Si dos números sólo tienen como divisor común el 1 decimos que son Primos Entre Si, y entonces su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Otro procedimiento para calcular el máximo común divisor, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue:
Otro procedimiento para calcular el máximo común divisor, más corto y que resulta más fácil de utilizar, es la factorización (descomposición en factores primos) de los números. Para ello, procederemos como sigue:
- Realizamos la factorización de los números.
- Tomamos todos los factores comunes elevados al menor exponente.
- El M.C.D será el producto de los factores anteriores.
Máximo Común Divisor de 36, 84 y 120
Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5
Factores comunes, con menor exponente ⇒ 22 y 3
2 x 2 x 3 = 12, por tanto, el M.C.D. (36, 84, 120) = 12
Factorización de 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
Factorización de 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 22 x 3 x 7
Factorización de 120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 23 x 3 x 5
Factores comunes, con menor exponente ⇒ 22 y 3
2 x 2 x 3 = 12, por tanto, el M.C.D. (36, 84, 120) = 12
Los números que no tiene ningún factor primo común son Primos Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Por último, también podemos hallar el Máximo Común Divisor de dos números por el método de las divisiones sucesivas, conocido como algoritmo de Euclides. Este procedimiento es muy útil cuando los números son grandes.
Para hallar el Máximo Común Divisor de dos números procedemos como sigue:
Por último, también podemos hallar el Máximo Común Divisor de dos números por el método de las divisiones sucesivas, conocido como algoritmo de Euclides. Este procedimiento es muy útil cuando los números son grandes.
Para hallar el Máximo Común Divisor de dos números procedemos como sigue:
- Dividimos el mayor por el menor, si el resto es cero, el divisor (el menor) es el M.C.D de los dos números.
- Si el resto no es cero, se divide nuevamente el divisor entre el resto. Si el nuevo resto es cero, el último divisor (el resto anterior) es el M.C.D.
- Si el nuevo resto no es cero, seguimos haciendo lo mismo hasta conseguir un resto igual a cero. El último divisor, el que nos da un resto igual a cero, será el M.C.D de los números dados.
- Si el último divisor, el que nos da resto cero, es igual a 1, quiere decir que sólo tienen como divisor común el 1, es decir, son Primos Entre Si, y su Máximo Común Divisor es igual a 1.
Máximo Común Divisor de 2310 y 98
2310 : 98 = 23 de cociente y 56 de 1er resto
98 : 56 = 1 de cociente y 42 de 2o resto
56 : 42 = 1 de cociente y 14 de 3er resto
42 : 14 = 3 de cociente y 0 de 4o resto
Como el divisor 14 nos da un resto igual cero,
es el M.C.D de los números dados.
M.C.D. (2310 , 98) = 14
2310 : 98 = 23 de cociente y 56 de 1er resto
98 : 56 = 1 de cociente y 42 de 2o resto
56 : 42 = 1 de cociente y 14 de 3er resto
42 : 14 = 3 de cociente y 0 de 4o resto
Como el divisor 14 nos da un resto igual cero,
es el M.C.D de los números dados.
M.C.D. (2310 , 98) = 14
Miércoles, 6-Noviembre-2013
Ejercicios de las páginas 50 y 51.
Ficha de problemas. Por detrás inventa y resuelve dos similares a los que has hecho.
Este trabajo es para el Viernes día 8 de Noviembre, pues mañana estaréis de excursión.
Disfrutad y aprended...
martes, 5 de noviembre de 2013
31-Octubre-2013
Realizad las actividades de las fotocopias.
Pensad bien los problemas, no son complicados solo es cuestión de comprender lo que te piden y para ello hay que leerlos varias veces.
Disfrutad del puente.
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